Il mulino a vento di Euclide

Il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati sulle gambe di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato sull'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) - in notazione algebrica familiare, a 2 + b 2 = c 2. I babilonesi e gli egiziani avevano trovato alcune triple intere ( a , b , c ) che soddisfacevano la relazione. Pitagora (c. 580-c. 500 aC) o uno dei suoi seguaci potrebbero essere stati i primi a dimostrare il teorema che porta il suo nome. Euclide (300 aC circa) ha offerto una dimostrazione intelligente del teorema di Pitagora nei suoi Elementi , noto come la dimostrazione del mulino a vento dalla forma della figura.

La prova del mulino a vento di Euclide.

  1. Disegnare quadrati ai lati del diritto Δ A B C .
  2. B C H e A C K sono linee rette perché ∠ A C B = 90 °.
  3. E A B = ∠ C A I = 90 °, per costruzione.
  4. B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , per 3.
  5. A C = A I e A B = A E , per costruzione.
  6. Pertanto, Δ B A I ≅ Δ E A C , dal teorema lato angolo lato (vedi Barra laterale: Il ponte di Asses), come evidenziato nella parte (a) della figura.
  7. Disegnare C F parallela a B D .
  8. Rettangolo A G F E = 2Δ A C E . Questo notevole risultato deriva da due teoremi preliminari: (a) le aree di tutti i triangoli sulla stessa base, il cui terzo vertice giace ovunque su una linea indefinitamente estesa parallela alla base, sono uguali; e (b) l'area di un triangolo è la metà di quella di qualsiasi parallelogramma (incluso qualsiasi rettangolo) con la stessa base e altezza.
  9. Quadrato A I H C = 2Δ B A I , con lo stesso teorema del parallelogramma del passaggio 8.
  10. Pertanto, rettangolo A G F E = quadrato A I H C , con i passaggi 6, 8 e 9.
  11. D B C = ∠ A B J , come nei passaggi 3 e 4.
  12. B C = B J e B D = A B , per costruzione come nel passaggio 5.
  13. Δ C B D ≅ Δ J B A , come al punto 6 ed evidenziato nella parte (b) della figura.
  14. Rettangolo B D F G = 2Δ C B D , come nel passaggio 8.
  15. Quadrato C K J B = 2Δ J B A , come nel passaggio 9.
  16. Pertanto, rettangolo B D F G = quadrato C K J B , come nel passaggio 10.
  17. Quadrato A B D E = rettangolo A G F E + rettangolo B D F G , per costruzione.
  18. Pertanto, quadrato A B D E = quadrato A I H C + quadrato C K J B , ai passi 10 e 16.

Il primo libro degli Elementi di Euclideinizia con la definizione di un punto e termina con il teorema di Pitagora e il suo contrario (se la somma dei quadrati su due lati di un triangolo è uguale al quadrato sul terzo lato, deve essere un triangolo rettangolo). Questo viaggio dalla definizione particolare all'affermazione matematica astratta e universale è stato considerato emblematico dello sviluppo della vita civile. Un esempio lampante dell'identificazione del ragionamento di Euclide con la più alta espressione di pensiero fu la proposta avanzata nel 1821 da un fisico e astronomo tedesco di aprire una conversazione con gli abitanti di Marte mostrando loro le nostre pretese di maturità intellettuale. Tutto quello che dovevamo fare per attirare il loro interesse e l'approvazione, si diceva, era arare e piantare grandi campi a forma del diagramma del mulino a vento o, come altri proponevano,scavare canali suggestivi del teorema di Pitagora in Siberia o nel Sahara, riempirli di olio, dar loro fuoco e attendere una risposta. L'esperimento non è stato tentato, lasciando indeciso se gli abitanti di Marte non abbiano telescopio, geometria o esistenza.