Le prove di formule di Archimede per aree e volumi fissano lo standard per il trattamento rigoroso dei limiti fino ai tempi moderni. Ma il modo in cui scoprì questi risultati rimase un mistero fino al 1906, quando una copia del suo trattato perduto The Method fu scoperta a Costantinopoli (ora Istanbul, Turchia).
Si è scoperto che Archimede aveva utilizzato un metodo più tardi noto come principio di Cavalieri, che prevede il taglio di solidi (i cui volumi devono essere confrontati) con una famiglia di piani paralleli. In particolare, se ogni piano della famiglia taglia due solidi in sezioni trasversali di uguale area, i due solidi devono avere lo stesso volume ( vedi figura). Si può pensare al solido come alla somma di tali sezioni, chiamate indivisibili. Archimede ha effettivamente elaborato questo principio, non solo confrontando sezioni corrispondenti in area, ma anche "bilanciandole" con la legge della leva.
L'idea di affettare con piani paralleli fu riscoperta in Cina, e una prova più semplice che il volume di una sfera è due terzi del volume del suo cilindro circoscrivente, usando solo le aree, fu data da Liu Hui nel 263 d.C. queste righe furono date dal matematico italiano Bonaventura Cavalieri nella sua Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; "Un certo metodo per lo sviluppo di una nuova geometria di indivisibili continui"). Cavalieri ha osservato cosa accade quando un emisfero e il suo cilindro circoscrivente vengono tagliati dalla famiglia di piani paralleli alla base del cilindro: ogni sezione discoidale della sfera ha la stessa area della corrispondente sezione anulare del complemento di un cono in il cilindro ( vedifigura ). La formula per il volume della sfera segue quindi immediatamente dal teorema di Eudosso che il volume di un cono è un terzo del volume del suo cilindro circoscrivente.
