Incommensurabili

I geometri immediatamente successivi a Pitagora (c. 580 – c. 500 aC) condivisero la malsana intuizione che due lunghezze qualsiasi fossero “commensurabili” (cioè misurabili) da multipli interi di qualche unità comune. Per dirla in un altro modo, credevano che i numeri interi (o contatori) e i loro rapporti (numeri o frazioni razionali) fossero sufficienti per descrivere qualsiasi quantità. La geometria quindi si accoppiava facilmente con la credenza pitagorica, il cui principio più importante era che la realtà è essenzialmente matematica e basata su numeri interi. Di particolare rilevanza era la manipolazione dei rapporti, che inizialmente avveniva secondo regole confermate dall'aritmetica. La scoperta delle surds (le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati) minò quindi i pitagorici: non poteva più a : b =c : d (dove un e b , per esempio, sono relativamente primi) implica che un = n c o b = n d , dove n è un numero intero. Secondo la leggenda, lo scopritore pitagorico di quantità incommensurabili, ora note come numeri irrazionali, fu ucciso dai suoi fratelli. Ma è difficile mantenere un segreto nella scienza.

Gli antichi greci non avevano algebra o numeri arabo-indù. La geometria greca era basata quasi esclusivamente sul ragionamento logico che coinvolgeva diagrammi astratti. La scoperta degli incommensurabili, quindi, ha fatto più che disturbare la nozione pitagorica del mondo; condusse a un'impasse nel ragionamento matematico, un'impasse che persisteva fino a quando i geometri del tempo di Platone non introdussero una definizione di proporzione (rapporto) che teneva conto degli incommensurabili. I principali matematici coinvolti furono l'ateniese Theaetetus (c. 417-369 a.C.), a cui Platone dedicò un intero dialogo, e il grande Eudosso di Cnido (c. 390-c. 340 a.C.), il cui trattamento degli incommensurabili sopravvive come Libro V degli elementi di Euclide .

Euclide ha fornito la seguente semplice dimostrazione. Un quadrato con lati di lunghezza 1 unità deve, secondo il teorema di Pitagora, avere una diagonale d che soddisfi l'equazione d 2 = 12 + 12 = 2. Si supponga, secondo l'aspettativa pitagorica, che la diagonale possa essere espressa come rapporto di due numeri interi, diciamo p e q , e che p e q sono primi, con p > q , in altre parole, che il rapporto è stato ridotto alla sua forma più semplice. Quindi p 2 / q 2 = 2. Allora p 2 = 2 q 2, quindi pdeve essere un numero pari, diciamo 2 r . Inserimento 2 r per p nell'ultima equazione e semplificando, otteniamo q 2 = 2 r 2, dove q deve essere ancora, che contraddice l'ipotesi che p e q hanno alcun fattore comune diversa unità. Quindi, nessun rapporto di numeri interi - cioè, nessun "numero razionale" secondo la terminologia greca - può esprimere la radice quadrata di 2. Lunghezze tali che i quadrati formati su di essi non siano uguali ai numeri quadrati (ad esempio, Radice quadrata di √ 2 , Radice quadrata di √ 3, Radice quadrata di √ 5, Radice quadrata di √ 6, ...) erano chiamati "numeri irrazionali".