Metalogic , lo studio e l'analisi della semantica (relazioni tra espressioni e significati) e della sintassi (relazioni tra espressioni) dei linguaggi formali e dei sistemi formali. È correlato, ma non include, il trattamento formale delle lingue naturali. (Per una discussione sulla sintassi e la semantica dei linguaggi naturali, vedere linguistica e semantica.)
Natura, origini e influenze metalogiche
Sintassi e semantica
Un linguaggio formale di solito richiede un insieme di regole di formazione, cioè una specifica completa dei tipi di espressioni che devono essere considerate formule ben formate (frasi o espressioni significative), applicabili meccanicamente, nel senso che una macchina potrebbe controllare se un candidato soddisfa i requisiti. Questa specifica di solito contiene tre parti: (1) un elenco di simboli primitivi (unità di base) dati meccanicamente, (2) alcune combinazioni di questi simboli, individuati meccanicamente come formanti le frasi semplici (atomiche), e (3) un insieme di proposizioni induttive - induttive in quanto stabiliscono che le combinazioni naturali di frasi date formate da connettivi logici come la disgiunzione "o", che è simbolizzata "∨"; "Non", simboleggiava "∼"; e "per tutti", simboleggiato "(∀)," sono ancora frasi. ["(∀)" è chiamato quantificatore,come anche “ce n'è”, simboleggiato “(∃)”.] Poiché queste specifiche riguardano solo i simboli e le loro combinazioni e non i significati, coinvolgono solo la sintassi del linguaggio.
Un'interpretazione di un linguaggio formale è determinata formulando un'interpretazione delle frasi atomiche del linguaggio rispetto a un dominio di oggetti, cioè stabilendo quali oggetti del dominio sono denotati da quali costanti del linguaggio e quali relazioni e funzioni sono denotato da quale predicato lettere e simboli di funzione. Il valore di verità (sia "vero" o "falso") di ogni frase è così determinato secondo l'interpretazione standard dei connettivi logici. Ad esempio, p · q è vero se e solo se p e qsono vere. (Qui, il punto indica la congiunzione "e", non l'operazione di moltiplicazione "volte".) Pertanto, data qualsiasi interpretazione di un linguaggio formale, si ottiene un concetto formale di verità. Verità, significato e denotazione sono concetti semantici.
Se, inoltre, viene introdotto un sistema formale in un linguaggio formale, sorgono alcuni concetti sintattici, vale a dire assiomi, regole di inferenza e teoremi. Alcune frasi sono indicate come assiomi. Questi sono i teoremi (di base). Ogni regola di inferenza è una clausola induttiva, affermando che, se alcune frasi sono teoremi, anche un'altra frase ad esse correlata in modo appropriato è un teorema. Se p e "o non p o q " (∼ p ∨ q ) sono teoremi, per esempio, q è un teorema. In generale, un teorema è o un assioma o la conclusione di una regola di inferenza le cui premesse sono teoremi.
Nel 1931 Kurt Gödel fece la scoperta fondamentale che, nella maggior parte dei sistemi formali interessanti (o significativi), non tutte le frasi vere sono teoremi. Da questo risultato consegue che la semantica non può essere ridotta alla sintassi; quindi la sintassi, che è strettamente correlata alla teoria della dimostrazione, deve spesso essere distinta dalla semantica, che è strettamente correlata alla teoria dei modelli. In parole povere, la sintassi, come concepita nella filosofia della matematica, è una branca della teoria dei numeri e la semantica è una branca della teoria degli insiemi, che si occupa della natura e delle relazioni degli aggregati.
Storicamente, man mano che i sistemi logici e assiomatici divennero sempre più esatti, in risposta a un desiderio di maggiore lucidità, emerse una tendenza a prestare maggiore attenzione alle caratteristiche sintattiche dei linguaggi impiegati piuttosto che concentrarsi esclusivamente sui significati intuitivi. In questo modo, la logica, il metodo assiomatico (come quello impiegato nella geometria) e il semiotico (la scienza generale dei segni) convergono verso la metalogica.
Il metodo assiomatico
Il sistema assiomatico più noto è quello di Euclide per la geometria. In un modo simile a quello di Euclide, ogni teoria scientifica implica un corpo di concetti significativi e una raccolta di affermazioni vere o credute. Il significato di un concetto può spesso essere spiegato o definito in termini di altri concetti e, analogamente, la verità di un'affermazione o la ragione per crederla può essere solitamente chiarita indicando che può essere dedotta da alcune altre asserzioni già accettate. Il metodo assiomatico procede in una sequenza di passaggi, iniziando con un insieme di concetti e proposizioni primitivi e quindi definendo o deducendo tutti gli altri concetti e proposizioni nella teoria da essi.
La consapevolezza, sorta nel XIX secolo, che esistono diverse geometrie possibili, ha portato al desiderio di separare la matematica astratta dall'intuizione spaziale; di conseguenza, molti assiomi nascosti furono scoperti nella geometria di Euclide. Queste scoperte furono organizzate in un sistema assiomatico più rigoroso da David Hilbert nel suo Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ). In questo e nei sistemi correlati, tuttavia, i connettivi logici e le loro proprietà sono dati per scontati e rimangono impliciti. Se si assume che la logica in questione sia quella del calcolo dei predicati, il logico può quindi arrivare a sistemi formali come quello discusso sopra.
Una volta ottenuti tali sistemi formali, è possibile trasformare alcuni problemi semantici in problemi sintattici più nitidi. È stato affermato, ad esempio, che le geometrie non euclidee devono essere sistemi autoconsistenti perché hanno modelli (o interpretazioni) nella geometria euclidea, che a sua volta ha un modello nella teoria dei numeri reali. Ci si può quindi chiedere, tuttavia, come sia noto che la teoria dei numeri reali è coerente nel senso che non si può derivare alcuna contraddizione al suo interno. Ovviamente, la modellazione può stabilire solo una consistenza relativa e deve fermarsi da qualche parte. Essendo arrivato a un sistema formale (diciamo di numeri reali), tuttavia, il problema di coerenza ha quindi il focus più acuto di un problema sintattico:quello di considerare tutte le prove possibili (come oggetti sintattici) e chiedersi se qualcuna di esse ha mai (diciamo) 0 = 1 come ultima frase.
Come altro esempio, la questione se un sistema sia categorico, cioè se determini essenzialmente un'interpretazione unica nel senso che due interpretazioni sono isomorfiche, può essere esplorata. Questa domanda semantica può in una certa misura essere sostituita da una questione sintattica correlata, quella della completezza: se nel sistema c'è una frase che ha un valore di verità definito nell'interpretazione intesa, tale che né quella frase né la sua negazione siano un teorema. Anche se è ormai noto che i concetti semantici e sintattici sono diversi, il vago requisito che un sistema sia “adeguato” è chiarito da entrambi i concetti. Lo studio di questioni sintattiche così acute come quelle della coerenza e della completezza, che fu enfatizzato da Hilbert, fu chiamato da lui "metamatematica" (o "teoria della dimostrazione") intorno al 1920.
